Se trata del noveno número de Dedekind
En el círculo, el matemático alemán Dedekind ADOBE STOCK
FERNANDO BLASCO
La teoría de grafos es una disciplina de las matemáticas que, por diferentes motivos, actualmente tiene mucha popularidad. Para aquellos lectores que no se hagan idea de lo que estamos hablando, pueden pensar en el mapa del metro de una ciudad: tenemos unos puntos, que son las estaciones, conectados por otras líneas, que representarían las vías o los túneles.
Cuando antes llegábamos a una ciudad que no conocíamos procurábamos hacernos con un plano del transporte y estimábamos cuál era la mejor ruta para desplazarnos en esa ciudad. Hoy lo hacen por nosotros algunas aplicaciones, pensando en la red de transporte como un grafo y utilizando algoritmos de recorrido mínimo. En este ABCdario de las matemáticas han aparecido en diferentes ocasiones y doy por seguro que seguirán apareciendo, por ser un objeto de estudio en constante desarrollo.
Hoy aparecen de nuevo debido al reciente descubrimiento del noveno número de Dedekind, un número entero que consta de 42 dígitos y que se ha estado buscando durante más de 30 años. Vamos a acercarnos a este problema y su importancia proponiendo un reto al lector; pensemos en un cuadrado equilibrado sobre uno de sus vértices:
El reto consiste en colorear algunos vértices de rojo de modo que nunca haya un vértice blanco en un nivel superior al que hay uno rojo. Por ejemplo, el coloreado que hemos descrito, con todos los vértices blancos, sería uno válido. Otro sería, por ejemplo, el siguiente:
Matemáticos hallan un número con 42 dígitos después de más de 30 años de búsqueda.
El cuadrado tiene dimensión 2 y el número de posibilidades que tenemos para colorear el cuadrado siguiendo las reglas enunciadas viene dado por el llamado segundo número de Dedekind, asociado a dimensión 2. Para quienes lo quieran intentar, adelantamos que ese número, en el caso propuesto, es 6.
Antes de adentrarnos en el problema que se acaba de resolver (correspondiente a la novena dimensión) vamos a ver qué ocurre con los casos anteriores. El número de Dedekind correspondiente a dimensión 0 es 2: el «cuadrado» en dimensión 0 sería únicamente un punto y solo tenemos dos opciones: podemos colorearlo de rojo o dejarlo blanco. No hay más posibilidades.
Si vamos a dimensión 1, el equivalente al cuadrado bidimensional sería un segmento. Este puede ser coloreado únicamente de 3 maneras distintas, siguiendo esas reglas:
El de dimensión 2 ya lo hemos mencionado. El equivalente al cuadrado en el caso tridimensional es el cubo. Este caso es bastante más complejo y recomiendo que lo pensemos manipulando un cubo real (puede ser un cubo de Rubik, un dado o cualquier objeto cúbico). Si lo ponemos, como antes, sujeto sobre la esquina inferior, podemos apreciar 4 pisos: 1 vértice abajo, un segundo nivel en el que los vértices forman un triángulo equilátero, un tercer nivel formado por otros tres vértices, que forman un triángulo girado 180o respecto al anterior y un cuarto nivel con un único vértice.
Hemos representado el primer piso en rosa, el segundo en violeta, el tercero en azul y el cuarto en negro. (En realidad coincidirían el vértice rosa con el negro, pero en nuestra representación lo hemos desplazado un poco).
Retamos al lector a que encuentre las 20 maneras de colorear los vértices del cubo con las reglas descritas anteriormente: si aparece un punto rojo en un determinado nivel, no puede aparecer ningún blanco en un nivel superior.
Si pasamos de la tercera a la cuarta dimensión, los problemas crecen: lo primero es hacernos una idea de cómo podemos representar el hipercubo, que sería el análogo al cubo pero en dimensión 4.
Hay varias formas de representarlo y también recurrimos a la teoría de grafos para ello: podemos representar de forma plana objetos tridimensionales fijándonos en sus vértices y sus aristas. Por ejemplo, el cubo tridimensional puede representarse de forma plana por medio de su diagrama de Schelegel, que viene a ser quitar la tapa superior del cubo, asomarnos y ver qué queda:
El diagrama equivalente para el hipercubo sería algo parecido al monumento a la Constitución que hay en Madrid:
Con la necesaria dosis de abstracción deberíamos equilibrar el hipercubo sobre una esquina y contar el número de posibles coloraciones, que en este caso son 168.
De este modo hemos obtenido la sucesión 2, 3, 6, 20, 168, … que es la que recoge los llamados números de Dedekind puesto que él mismo definió el problema en 1897 y calculó los 5 primeros términos de la sucesión, hasta el 168. El siguiente de estos números es 7581 y lo encontró Randolph Church en 1940. Seis años más tarde, en 1946, Morgan Ward descubrió el siguiente término de la sucesión, el 7.828.354. Pasaron casi 20 años antes de encontrar el número de Dedekind correspondiente a dimensión 7, y fue de nuevo Randolph Church quien fue capaz de conseguir encontrar que era 2.414.682.040.998. la verificación de la corrección de este valor se completó 10 años más tarde, por Joel Berman and Peter Koehler.
Observamos que el número de posibilidades de coloreado aumenta muy rápidamente: el número de posibilidades de coloreado del hipercubo en dimensión 8 es un número de 23 dígitos. Concretamente es el número 56.130.437.228.687.557.907.788 y fue encontrado por Doug Wiedemann en 1991 utilizando un ordenador Cray 2 durante 5 meses (recordemos que hablamos del uso del ordenador Cray 1 en el reto de calcular decimales de pi en un artículo anterior en este mismo ABCdario de las matemáticas).